Relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico, El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.
El teorema afirma que:
"En todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, cíclico, no cruzado, la suma de los productos de los pares de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales."
Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D:
Donde la línea sobre las Letras indica la longitud de los segmentos entre los vértices correspondientes.
Demostración
Sea ABCD cualquier cuadrilátero cíclico y no cruzado. Considerando el punto E sobre la diagonal BD, tal que ÐBAE = ÐCAD, como en la Figura 1.
Tenemos que los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, ya que los ángulos ÐBAE y ÐCAD son iguales por definición de E (Figura 1), y ÐEBA = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AD (Figura 2).
Por lo tanto:
y de aquí que
AB × CD = AC × BE
Tenemos que los triángulos Δ AED y ΔABC son semejantes, puesto que ÐEAD = ÐAEC + ÐCAD =ÐEAC + ÐBAE = ÐBAC y además ÐADE = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AB (Figura 3)
Por lo tanto:
y de aquí que
AD × BC = AC × ED
Sumando miembro a miembro las igualdades que obtuvimos,
AB×CD + AD× BC = AC×BE + AC×ED= AC ×(BE + ED)= AC×BD
Demostración de lo que queríamos.
Definiciones
Cuadrilátero cíclico
Se dice que un cuadrilátero es cíclico si sus cuatro vértices se encuentran en una misma circunferencia.
Para un cuadrilátero convexo, una condición necesaria y suficiente para qué sea cíclico es que alguna de las dos parejas de ángulos opuestos sumen
. En la imagen, el cuadrilatero ABCD es cíclico ya que, 
.
Otra condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero convexo sea cíclico, es que los ángulos que forman un lado y una diagonal y el lado opuesto con la otra diagonal sean iguales. En la imagen,
Ángulo inscrito
En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo comprendido entre dos secantes (o una secante y una tangente en el caso degenerado, llamado semi-inscrito), que se intersectan en la circunferencia.
Es decir, es el ángulo definido por dos cuerdas que comparten un extremo.
Triángulos semejantes
El teorema afirma que:
"En todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, cíclico, no cruzado, la suma de los productos de los pares de los lados opuestos es igual al producto de sus diagonales."
Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D:
Donde la línea sobre las Letras indica la longitud de los segmentos entre los vértices correspondientes.
Demostración
Sea ABCD cualquier cuadrilátero cíclico y no cruzado. Considerando el punto E sobre la diagonal BD, tal que ÐBAE = ÐCAD, como en la Figura 1.
Figura 1
Tenemos que los triángulos ΔABE y ΔACD son semejantes, ya que los ángulos ÐBAE y ÐCAD son iguales por definición de E (Figura 1), y ÐEBA = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AD (Figura 2).
Figura 2
Por lo tanto:
y de aquí que
AB × CD = AC × BE
Tenemos que los triángulos Δ AED y ΔABC son semejantes, puesto que ÐEAD = ÐAEC + ÐCAD =ÐEAC + ÐBAE = ÐBAC y además ÐADE = ÐDCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AB (Figura 3)
Figura 3
Por lo tanto:
y de aquí que
AD × BC = AC × ED
Sumando miembro a miembro las igualdades que obtuvimos,
AB×CD + AD× BC = AC×BE + AC×ED= AC ×(BE + ED)= AC×BD
Demostración de lo que queríamos.
Definiciones
Cuadrilátero cíclico
Se dice que un cuadrilátero es cíclico si sus cuatro vértices se encuentran en una misma circunferencia.
Para un cuadrilátero convexo, una condición necesaria y suficiente para qué sea cíclico es que alguna de las dos parejas de ángulos opuestos sumen
. En la imagen, el cuadrilatero ABCD es cíclico ya que, 
.Otra condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero convexo sea cíclico, es que los ángulos que forman un lado y una diagonal y el lado opuesto con la otra diagonal sean iguales. En la imagen,
Los cuadriláteros cíclicos cumplen el teorema de Ptolomeo.
Ángulo inscrito
En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo comprendido entre dos secantes (o una secante y una tangente en el caso degenerado, llamado semi-inscrito), que se intersectan en la circunferencia.
Es decir, es el ángulo definido por dos cuerdas que comparten un extremo.
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.
Una semejanza es la composición de una isometría (o sea, una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia.En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.
Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).
Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
Referencias
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